每个大偶数，都是一个素数加一个“殆素数”

问题是什么

1742 年，哥德巴赫猜测：从 4 开始，每个偶数都能写成两个素数之和。例如 10 = 3 + 7，100 = 47 + 53。至今没人找到反例，也没人能证明它。

陈景润证明了目前最接近的结果。他允许第二个数“差一点”是素数：它要么是素数，要么恰好是两个素数的乘积（比如 15 = 3 × 5，49 = 7 × 7）。数学家把这样的数叫做殆素数。

动手试试。任选一个偶数，面板会找出两种写法的全部方案。

这个结果简称“1 + 2”。它和 1 + 2 = 3 毫无关系。意思是：一个有 1 个素因子的数，加上一个至多有 2 个素因子的数。按这种记法，哥德巴赫猜想本身就是“1 + 1”。论文里把它写作命题 (1, 2)。

通往 1+2 的阶梯

没有人一步跳到 1+2。五十年间，人们证明的是一个个较弱的命题“a + b”：每个大偶数都是一个至多 a 个素因子的数与一个至多 b 个素因子的数之和。数字越小越好。点一级台阶看看。

从“两个数都是殆素数”到“其中一个是真正的素数”（雷尼，1948 年）是一次大转变，因为素数比殆素数难控制得多。此后的目标就是把第二个数的素因子个数往下压：先是某个固定的 c，然后是 5、4、3。陈景润在 1966 年宣布了 1+2，但只给出了证明概要。1973 年的这篇论文是完整证明，同时把常数从 0.098 提高到 0.67（第 3 章解释这个常数是什么）。

到底证明了什么

陈景润不只证明了“存在一种”表示法。他证明了表示法很多，并给出了保底的数量。这就是定理 I，其中 x 是那个偶数：

P_x(1,2)

第 1 章里数的那个数：有多少个素数 p，使得 x − p 是素数或两个素数的乘积。

x / (log x)²

答案的自然量级。x 以下大约有 x / log x 个素数，而每个 x − p 又大约有 log x 分之一的机会“像素数”。两者相乘即得。（全文的 log 都是自然对数。）

C_x

一个修正因子，取决于哪些小素数整除 x。它从约 0.66 起步，x 每有一个奇素因子 q，就乘上 (q−1)/(q−2)。3 的倍数直接翻倍。

0.67

整篇论文就是为了算出这个数。它只需要大于零。只要常数为正，这个个数就随 x 无限增长，永远不会是零。

为什么被 3 整除会有帮助？如果 3 整除 x，那么 x − p 就永远不是 3 的倍数（除非 p = 3），于是它更有可能“像素数”。在真实数据里，这表现为清楚分开的两条带子：

一个限制：“充分大”

定理对超过某个门槛的所有偶数成立。论文没有说门槛在哪里，这套方法也给不出一个像样的门槛：好几步都要求 log x 极大（引理 1 就要求 log x ≥ 1000，即 x 超过 400 位）。所以陈氏定理并不能判定任何一个具体的偶数。它判定的是从某一点往后的全部偶数。

定理 II：孪生素数的“孪生”结果

同一套机器还证明了第二个结果。固定任意偶数间隔 h，则有无穷多个素数 p，使得 p + h 是素数或两个素数的乘积，并有同样形式的下界。取 h = 2，这就是目前最接近孪生素数猜想的结果。

筛法，以及它为什么会卡住

基本工具是筛法。最古老的筛法你一定见过：要找素数，先把数字写出来，划掉 2 的倍数，再划掉 3 的倍数、5 的倍数。剩下的数没有小的素因子。

对哥德巴赫问题，我们筛的是一张特殊的表。固定偶数 x。对 x 以下的每个素数 p，写下“余数” x − p（下文都叫它差数）。我们想要素因子很少的差数。于是把凡是含有小于某个界限 z 的素因子的差数统统划掉。

所以，界限取 x^1/10，剩下的数至多有 9 个素因子。界限取 x^1/3，至多 2 个，正是我们想要的。拖动滑块，看看哪些数幸存。

为什么不直接把界限定为 x^1/3？

在面板里可以，因为电脑逐个检查了每一个数。但对所有大 x 都成立的证明没法逐个检查。它只能估计有多少幸存者，而这个估计对每个模 d 都需要一条输入信息：

有多少个差数 x − p 能被 d 整除？换句话说：有多少个素数 p 除以 d 的余数与 x 相同？

预期的答案是“各占一份”：素数应当均匀地分布在各个允许的余数上。亲眼看看。

筛法的威力，取决于 d 能取到多大而我们仍然能证明分布是均匀的。陈景润手头最好的工具是邦别里定理（1965 年，论文的参考文献 [9]）：在平均意义下，对直到大约 √x 的所有 d，分布都是均匀的。行话说，素数的“分布水平是 ½”。

有了水平 ½，最好的纯筛法给出的是 1+3。单靠筛法要到 1+2，需要的信息超出了邦别里定理所能给的。陈景润的洞见是：不再硬着头皮筛得更狠，而是换一个计数的对象。

陈景润的打分法

陈景润只轻轻筛一遍，界限取 x^1/10。幸存的差数太多了，其中混着有 3 到 9 个素因子的“坏”差数。然后他给每个幸存者打一个分，打分规则设计成：坏的幸存者得分不超过零。如果总分是正的，就必定存在好的幸存者。

把幸存差数的素因子按大小分成两类：

中 介于 x^1/10 与 x^1/3 之间  ·  大 大于 x^1/3

大因子不可能有三个（乘起来就超过 x 了）。打分规则是：

在下面搭一个差数，看它得几分。

把各种情形过一遍，就能看出让证明成立的规律：

唯一危险的坏形状是 中 × 大 × 大。单靠“每个中因子扣半分”，它还剩 ½ 分。所以陈景润专门为这个形状加了一条额外扣分。数清这个形状出现的次数，就是他必须解决的新问题，论文的大部分篇幅都花在这里。

在论文里，这是第 III 节开头的一行式子 (34)，原文只说它“显然”：

A

轻筛之后幸存的差数个数。每个记 1 分。（论文记作 P_x(x, x^1/10)。）

B

所有幸存者的中因子总数。每个扣半分。

Ω

形状为 中 × 大 × 大 的幸存者个数。每个扣半分。

x^0.91

一点可以忽略的余量，用来处理含重复素因子的差数。上面那张整齐的表略过了这种情形。

打分规则是纯逻辑，所以它对每个偶数都成立，不只是对巨大的偶数。下面是你选定的数的账本。

逻辑部分到此结束。剩下的是对每个大 x 都成立的两个估计：A − ½B 的下界，和 Ω 的上界。以 x·C_x / (log x)² 为单位，陈景润得到：

收益：A − ½B 至少是 2.6408

A 和 B 都是关于差数 x − p 的普通筛法问题，所以陈景润用的是现成的工具：邦别里定理提供“各占一份”的输入，里歇特（Richert）1969 年论文（参考文献 [11]）提供一个精确的筛法公式。

筛法公式说的是：真实的幸存者个数，被夹在“朴素估计”的两个倍数之间，

其中 u 衡量筛得有多“克制”：

u 越大，夹得越紧。在 u = 5 处，上下界几乎贴在一起。这就是陈景润把界限选得低到 x^1/10 的原因：轻筛的结果几乎可以精确估计。

两部分分别怎么估计

A（要下界）。在 u = 5 处用下面那条曲线。这是式 (31)。按我们的单位，结果是 8 ×（log 4 + 一个小积分）。

B（要上界）。对每个中素数 q，数一数能被 q 整除的幸存者。这又是一次筛法，但 q 本身占用了一部分信息额度，所以 u 从 5 降到 3 与 4 之间。在那里用上面那条曲线，再对所有中素数 q 求和。这是式 (32)。

相减。两个小积分有一部分互相抵消。剩下的部分，陈景润在式 (33) 中只用一个关于对数的初等不等式手工估出：

本页把剩下的那个积分精确重算了一遍：约为 –，比陈景润稳妥的手算估计 −0.0164725 略好一点。他的算术宁可保守，证明本该如此。

损失：Ω 至多是 3.9404

Ω 数的是这样的素数 p：x − p = p₁p₂p₃。对差数做的筛法看不见这种形状。下面就是陈景润的新想法。

角色互换了。原先，表是按素数 p 编号的，我们找的是殆素数差数。现在，表是按三个素数的乘积编号的，我们找的是素数差数。而给一张表里的素数个数定一个上界，恰恰是筛法最拿手的活儿。

这些乘积长什么样

用对数尺度来想，乘法就变成了长度相加。一个接近 x 的乘积，是一根长度为 1 的条子被切成三段：p₁ = x^α，p₂ = x^β，剩下的归 p₃。

论文里的规则是 1/10 < α ≤ 1/3 < β ≤ (1 − α)/2。最后一条只是说 p₂ 是两个大素数中较小的那个。

上界筛法，分三步

第一步：塞尔伯格的平方技巧。陈景润取一组数 λ_d，对直到大约 x^1/4 的每个 d 各一个，其中 λ₁ = 1。对任意数 n，把它的“小”因数 d 对应的 λ_d 加起来，再平方。如果 n 没有小素因子，这样的因数只有 1，平方恰好是 1。否则平方至少也是 0。所以，不管 λ_d 怎么取，这些平方在整张表上的总和总是不小于筛法幸存者的个数。塞尔伯格找出了使总和最小的取法。论文在引理 4 之后紧接着定义了这些 λ_d。

第二步：拆成主项和误差。把平方展开，得到主项 M₁（假如这些乘积在各余数上完全均匀分布所得到的值）和误差项 M₂（全部不均匀程度的总和）。这是引理 5：Ω ≤ M₁ + M₂，外加可忽略的项。

第三步：分别估计。引理 6 证明 M₂ 可以忽略。这是最难的部分，放在第 8 章讲。引理 7 算出 M₁：

因子 8 是筛法的代价。人们相信真实值大约是 2 而不是 8，也就是说这个方法高估了大约四倍。陈景润的打分方案留的余量足够消化它。

数一数这些乘积

乘积的个数只取决于允许的切法 (α, β)。结果是 x / log x 乘以允许区域上的一个积分。陈景润在式 (28) 中把区间分成七段、查对数表，手工估出：

本页用数值方法算同一个积分，得到 –。陈景润的手算上界同样略偏保守。摘要里说的“没有任何复杂的数值计算”指的就是这个：一页用袖珍计算器就能核对的算术。

机房：技术引理

上面的第二步需要一条输入：乘积 p₁p₂p₃ 必须在平均意义下、对直到大约 √x 的所有模 d，在各余数上均匀分布。邦别里定理对素数说了这件事。对陈景润的这些乘积，此前没人证明过，于是他自己证。这就是引理 6，而引理 1 到 4 是它的工具。回到第 4 章的余数面板，按一下“陈景润的乘积”，就能在真实数字上看到这个论断。

这是论文中技术性最强的一半。要理解证明的结构，不必逐行跟下来。下面说说每件工具是干什么的。

引理 1：一个平滑的开关

计数只包括 x 以下的乘积。一刀切的截断在后面的微积分里很别扭，所以陈景润换成一个函数 Φ：在截断点之前是 0，然后平滑上升，很快就到 1。他把它写成一个围道积分。算出来其实是个熟悉的东西：一个泊松随机变量超过 log x 的概率。

引理 2：大筛法

要检验一张表是否偏爱模 d 的某个余数，可以拿它去和每隔 d 步重复一次的“测试花样”相乘求和。这些花样叫做特征，记作 χ。分布均匀的表，和每一种花样对出来的结果都很小。

大筛法不等式说的是：一张表不可能同时和很多不同的花样都强烈相关。把对直到 Q 的所有 d、所有花样的相关量平方后加起来，总和至多大约是（Q² + 表的长度）×（表的大小）。这是一笔预算：总共只有这么一点不均匀，要由所有的模来分摊。所以平均下来，每个模几乎分不到什么。

引理 3 和引理 4

引理 3 把大筛法用到 L 函数上。L 函数把一个特征打包成复变量的函数，就像黎曼 ζ 函数把普通整数打包起来一样。这条引理给出它们大小的平均上界（四次方平均）。引理 4 是一条关于特征和的小小的记账式估计，只用了一次，用来处理素数幂。

引理 6：让工具上场

为什么对别的表那么难的事，陈景润对 p₁p₂p₃ 却能做到？因为一个乘积有两个独立的部分：一对 p₁p₂，和第三个素数。乘积与某个花样的相关量，可以分解成两部分各自的相关量之积，大筛法就能分别对付它们。没有这种乘积结构的表，这套方法就无从下手。

证明把模 d 分成三个范围：

在每个范围里，不均匀的程度都比主项小 log x 的一个幂。结论：M₂ ≪ x / (log x)^2.01。关键是指数 2.01。主项的分母是 (log x)²，所以 x 很大时，误差小到影响不了常数。

最后一步加减

论文的最后一节只有五行。把两个估计代入打分不等式：

总分是正的，所以好的差数存在，定理 I 得证。余量是实实在在的，但不算大。拖动 Ω 的上界，看看它还能差到什么地步。

盈亏平衡点是 Ω ≤ 5.2816。陈景润的 3.9404 轻松过关。假如上界筛法的代价是因子 11 而不是 8，证明就失败了。至于定理 II，论文说只需把 x − p 换成 p + h，照同样的办法做一遍。

一屏看完整个证明

阅读指南

逐页对照

第一次读原文，建议的顺序是：先读第 287–288 页，然后跳到结尾（第 305 页），再读引理 9，再读引理 8，最后才读中间部分。

你会遇到的符号

log x

自然对数。大约是 x 的位数的 2.3 倍。

p | n

“p 整除 n”。

(a, b)

最大公因数。(a, b) = 1 表示没有公共因子。

A ≪ B

“A 至多是 B 的某个固定常数倍。”这个常数不去追究。

O(…)

大小至多为括号内的量（差一个常数倍）的误差项。

ε

一个事先取定、要多小有多小的正数。

φ(d)

欧拉函数：模 d 的余数中，与 d 没有公共因子的有多少个。素数就分布在这 φ(d) 个允许的余数上。

μ(d)

默比乌斯函数：d 有重复素因子时为 0，否则按素因子个数的奇偶取 −1 或 +1。

Λ(n)

冯·曼戈尔特函数：n 是素数 p 的幂时等于 log p，否则为 0。这是一种带权数素数的方式，能让公式更干净。

χ, Σ*

特征（模 d 的重复测试花样）。星号表示只对“原特征”求和，即周期确实是 d 的那些。

L(s, χ)

χ 的 L 函数。L′/L 是它的对数导数，里面编码了按 χ 加权的素数。

e(α)

e^2πiα，单位圆上的一个点。

陈氏定理没有解决的事

哥德巴赫猜想本身，也就是 1+1，仍未被证明。陈景润的方法也无法再往前推到那里。